선형대수 ( Linear Algebra )
공학에서 선형성이라는 단어는 참 많이나온다.
컴퓨터 공학에서도 물론 등장하거니와 암호학을 공부하다보면 비선형함수를 선형화시키는 공격이 나오기도 한다.
선형대수를 공부하면 장점이 뭐냐면, 선형함수를 가우스소거법이나 adjoint matrix, rank어쩌구, eigenvalue 등을 이용해 연립방정식 노가다보다 효율적으로 해결할 수 있기 때문이다. 이런저런 방법을 코딩에 적용하면 연산을 효율적으로 수행할 수 있다.
- 스칼라, 스칼라 함수는 소문자로 표현
- 벡터는 소문자 bold로 표현
- 행렬은 대문자 bold로 표현
Linearity, 선형성
선형성이란 직선 그래프로 표현될 수 있는 수학적 성질을 의미한다.
직선 그래프로 표현될 수 있다는 것은
두 변수가 정비례(directly proportion) 관계이며 예측가능성을 가진다는 것을 의미한다.
In mathematics
- Additivity : \\(f(x + y) = f(x)+f(y)\\)
- Homogeneity of degree 1 : \\(f(\alpha x) = \alpha f(x)\\) for all α
이 두 성질을 합쳐서 superposition principle ( 중첩 원리 ) 라고 부른다.
Linear polynomials
* 이 밖에도 물리학, 전자기학 등에서 많은 선형성에 대한 정의가 있지만 가장 formal한 정의는 이것이고,
superpositon principle, 특히 정비례와 예측가능성이 선형성의 핵심이므로 타 학문에서의 정의도 크게 벗어나지 않는다.
affine transformation
- 원점이 없다.
- 원점이 없으므로 점과 점을 더할 수는 없다. ( 원점 기준으로 사다리꼴 만들어 더하는게 벡터 덧셈이니까 )
- 점에서 점을 빼서 벡터를 얻을 수 있다.
- 점에 벡터를 더해 다른 점을 얻을 수 있다.
Differential
선형성을 가지는 함수는 딱 봐도 풀기 쉽다는걸 알 수 있다.
그러나 대부분의 함수는 비선형이고, 비선형함수를 푸는데 선형성을 이용하는 방법은 보통 미분이다.( 사실 내가 다른 써먹을 곳을 못찾았다. 이것도 엄밀히 말하면 맞는 표현인지 모르겠다. )
미분 방정식이 선형이면 선형대수를 이용해 해를 구하는 것이 가능하다.중첩 원리를 이용해 방정식을 작은 단위의 요소로 분할한 다음 각각의 해를 구해서 더하는 식으로 해결한다.이를 배우는게 선형대수인데 너무 대충들었다...* 미분방정식이 선형이라는 것은 독립 변수인 y나 그 도함수의 차수가 모두 1차임을 의미한다.
transpose
echelon
에셜론은 사다리꼴이라는 뜻으로, 행렬에 가우시안 소거법을 적용해 에셜론 폼을 만들 수 있다.
row에 적용하면 row echelon form, column에 적용하면 column echelon form인데 보통 row에 적용한다.
이런식으로 생긴게 row echelon form이다.
reduced row echelon form은 leading coefficient가 1이어야 하며 그 column의 유일한 nonzero entry여야 한다.
이런식으로.
왜 에셜론 폼이 중요하냐면, triangular matrix 형태로 정리가 되는데 이렇게 만들어야 컴퓨터 계산이 용이하기 때문이다.
보통 upper triangular matrix(U) 형태로 정리한다.
참고
- https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_cryptanalysis
- http://blog.minitab.com/blog/adventures-in-statistics/what-is-the-difference-between-linear-and-nonlinear-equations-in-regression-analysis
- http://www.aistudy.co.kr/physics/chaos/nonlinear.htm
'Liberal arts > Math' 카테고리의 다른 글
연속 확률 분포, continuous probability distribution (0) | 2018.05.30 |
---|---|
이산 확률 분포, discrete probability distribution (0) | 2018.05.28 |
조건부 확률과 베이즈 정리 (Bayes' theorem) (0) | 2018.04.21 |
선형대수 ( Linear Algebra ) (0) | 2016.09.19 |
댓글
이 글 공유하기
다른 글
-
연속 확률 분포, continuous probability distribution
연속 확률 분포, continuous probability distribution
2018.05.30 -
이산 확률 분포, discrete probability distribution
이산 확률 분포, discrete probability distribution
2018.05.28 -
조건부 확률과 베이즈 정리 (Bayes' theorem)
조건부 확률과 베이즈 정리 (Bayes' theorem)
2018.04.21